Infinitos (I parte)

Si os pregunto que me digáis cuántos números enteros hay en comparación con los naturales, seguramente la mayoría responderíais que el doble (más el cero). Parece claro, ¿no?:

La realidad es, cosas del infinito, ¡que hay los mismos números enteros que naturales!

Vamos allá:

Decimos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño cuando podemos hacer parejitas con sus elementos. Por ejemplo:

Claramente el conjunto de la izquierda tiene los mismos elementos que el de la derecha (ambos son de tamaño 6) porque podemos emparejar sus elementos (hay más opciones, pero da igual: siempre nos salen 6 parejas):

1 - Plátano.
2 - Fresa.
3 - Manzana.
4 - Naranja.
5 - Pera.
6 - Uva.

Bien, parece sencillo, pero cuando aparece el infinito, empiezan a pasar cosas "raras" y el asunto se complica.

Teorema: El conjunto de los números naturales

y el de los números enteros,

tienen el mismo número de elementos.

Demostración: ¿Podemos conseguir hacer parejitas con los elementos de uno y otro conjunto? Pues sí, por ejemplo:

1 con el cero.
2 con el 1.
3 con el -1.
4 con el 2.
5 con el -2.
6 con el 3.
7 con el -3.
8 con el 4.
Y así “hasta el infinito”.

A ver si lo habéis pillado:

i) ¿Qué números naturales se emparejan con los números enteros 1000 y  –1000?

ii) ¿Qué número entero se empareja con el número natural 2222?

Fijaos en lo que hemos conseguido. Por muy sorprendente que os parezca la conclusión es clara: hay un número natural por cada número entero, es decir, hay los mismos números enteros que números naturales.

Aquí os dejo un vídeo que juega con estas cosas. En próximas entradas seguiremos con este lío: