Infinitos (II parte)

El infinito ha dado (y sigue dando) muchos problemas a los matemáticos. A ver si lo pilláis:

i) Decimos que, por ejemplo, el conjunto de los alumnos de la clase de 2º A tiene 25 elementos, porque podemos hacer una lista y numerarla con los 25 primeros números naturales (el orden en el que los pongamos no importa, sólo nos interesa contar cuántos son):

1: Tiago.

2: Garazi.

3: Lucía.

...

23: Nicky.

24: Micaela.

25: Rodrigo.


Ahora lo chungo:

ii) Decimos que un conjunto es infinito “del tamaño de los números naturales”, cuando podemos poner todos sus elementos en una lista infinita y numerarla con los números naturales. Otra forma de verlo es pensar que tenemos un hotel con infinitas habitaciones y números en las puertas (1, 2, 3, 4...) y nos llegan como huéspedes los elementos de un conjunto a los que tenemos que ir acomodando. ¿Tendremos sitio para todos?

Y claro, con el "infinito" de por medio empiezan a pasar cosas raras, como que los números enteros, que lo primero que nos viene a la cabeza es que son el doble que los números naturales,

resulta que son exactamente la misma cantidad porque ¡caben perfectamente en nuestro hotel! y según van llegando los acomodamos en una habitación.

Sigamos. ¿Qué más conjuntos de números conocemos? Las fracciones (es decir, los números racionales). Así a ojo parece que son muchos, muchísimos más que los números naturales. Pues no, son exactamente los mismos, porque también podemos hacer una lista con ellos (o darles una habitación en nuestro hotel).

Hay varias formas “famosas” de demostrarlo y la más sencilla la explica el siguiente dibujo (vamos poniendo todas las fracciones; eso sí, tachamos las que "se repiten" -recordad que hay infinitas formas de escribir un número racional: nos quedamos con la fracción irreducible y no tenemos en cuenta las demás-):

La lista/asignación de habitaciones nos queda:

Paramos aquí y dejamos lo más duro para la entrega final. Recapitulando:

i) Los números naturales son infinitos.

ii) Los números enteros son infinitos.

iii) Los números racionales (fracciones, es decir, números con desarrollo decimal exacto o periódico), son infinitos.

iv) Los tres conjuntos de números, naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. Esto naturalmente se nos hace raro (se dice que es una paradoja), porque si recordáis, los números naturales están incluidos en los números enteros y estos a su vez están incluidos en los racionales. ¡¡¿¿Eso no es como decir que en 2º A hay 16 chicos de un total de 25 alumnos y que 16 es igual a 25??!! Sí, es decir eso mismo. Lo que pasa es que con conjuntos finitos es mentira, pero con conjuntos infinitos puede ser verdad.

v) El infinito es un concepto complicado. Creó y sigue creando muchísimos problemas a los matemáticos.

Reto: entre todos los que contestéis correctamente las dos siguientes preguntas sortearemos el DVD con la siguiente película:

INSTRUCCIONES PARA COMENTAR EN EL BLOG

Pregunta 1: Siguiendo el método descrito más arriba, ¿qué fracción ocupa la habitación 23 en el hotel infinito?

Pregunta 2: Imaginad que nos dan una lista de 10 números de 10 cifras escritos sólo con unos y doses, pero sólo nos dejan ver los números que forman la diagonal (detrás de cada X se esconde un uno o un dos pero no podemos verlo), en concreto:

Decid un número (de 10 cifras que sólo pueden ser unos o doses) que sepamos seguro que no está en esta lista.

Tenéis de plazo hasta el próximo domingo 20 de octubre.