Quiero que la utilicéis los de 3º este fin de semana para pegarle un buen repaso a las operaciones básicas con polinomios.
viernes, 29 de noviembre de 2019
Hoja de ejercicios de Operaciones con polinomios
Cuelgo la hoja que os he dado en clase a los de 2º.
Quiero que la utilicéis los de 3º este fin de semana para pegarle un buen repaso a las operaciones básicas con polinomios.
Quiero que la utilicéis los de 3º este fin de semana para pegarle un buen repaso a las operaciones básicas con polinomios.
jueves, 28 de noviembre de 2019
martes, 26 de noviembre de 2019
2º de ESO: introducción al álgebra
Os cuelgo las diapositivas que hemos usado en clase:
¡Qué bien lo vamos a pasar esta 2ª evaluación!
lunes, 25 de noviembre de 2019
3º de ESO: examen global de la 1ª evaluación
Si os ha salido bien, mi enhorabuena. En caso contrario, ánimo y a preparar la recuperación que haremos próximamente y que tendrá un formato parecido a estos dos exámenes:
sábado, 23 de noviembre de 2019
La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo es uno de los tres famosos problemas délicos (por Delos, la ciudad de la antigua Grecia) junto con la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Ya os conté muchos detalles el año pasado (haz clic aquí) y hoy sólo vamos a fijarnos en una "pijadilla" (cuidado con las "pijadillas" en matemáticas que pueden ser diabólicas).
Os refresco la idea: se trata de, a partir de un segmento de longitud 1, ser capaz de construir segmentos de la longitud que nos pidan, utilizando una regla y un compás y siguiendo ciertas reglas:
Y claro, los antiguos griegos se propusieron construir un segmento con la longitud de su/nuestro número favorito:
¿Podemos construir un segmento de longitud p?
O dicho más glamuroso: a partir de un círculo de radio 1 (eso es simplemente un segmento de longitud 1), ¿podemos construir un cuadrado con su misma área?
Un momento, ¿estamos seguros de que ambas preguntas son exactamente la misma?
En el primer caso, a partir de un segmento de longitud 1 buscamos construir otro de longitud p. En el segundo, a partir de un segmento de longitud 1 buscamos construir otro de longitud raíz de p (el lado del cuadrado).
En realidad ambos problemas son equivalentes porque, si sabes construir un segmento de longitud a cualquiera, sabes construir otro de longitud raíz de a, y viceversa. Si no entendéis algo, ¡le preguntáis a Amaya o a Jorge! 😉
Espero que os hayan gustado estas entradas sobre el Proyecto de Divulgaciencia. Adrián, Álex, Miguel y yo nos lo hemos pasado muy bien. ¡Ya sólo les queda hacer la exposición esta tarde!
Os recuerdo (y os invito) que hasta el 13 de enero podéis participar en los 5 retos que os he propuesto.
Os refresco la idea: se trata de, a partir de un segmento de longitud 1, ser capaz de construir segmentos de la longitud que nos pidan, utilizando una regla y un compás y siguiendo ciertas reglas:
Y claro, los antiguos griegos se propusieron construir un segmento con la longitud de su/nuestro número favorito:
¿Podemos construir un segmento de longitud p?
En el primer caso, a partir de un segmento de longitud 1 buscamos construir otro de longitud p. En el segundo, a partir de un segmento de longitud 1 buscamos construir otro de longitud raíz de p (el lado del cuadrado).
En realidad ambos problemas son equivalentes porque, si sabes construir un segmento de longitud a cualquiera, sabes construir otro de longitud raíz de a, y viceversa. Si no entendéis algo, ¡le preguntáis a Amaya o a Jorge! 😉
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| Aquí están las ideas. Para hacerlo siguiendo estrictamente las normas clásicas hay que ir más pasito a pasito. |
Espero que os hayan gustado estas entradas sobre el Proyecto de Divulgaciencia. Adrián, Álex, Miguel y yo nos lo hemos pasado muy bien. ¡Ya sólo les queda hacer la exposición esta tarde!
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| Que el espíritu de Ramanujan os acompañe, chicos 😂 |
jueves, 21 de noviembre de 2019
2º de ESO: examen global de la 1ª evaluación
Soy consciente de que en vuestras cabezas va a sonar la frase vete a la m...(*) (y lo entiendo; aunque por si acaso no se os ocurra decírmelo a la cara), pero entended también que es mi obligación pedíroslo: sacad un rato este fin de semana para hacer el examen y liquidar todas las dudas que os queden.
La semana que viene vemos cómo ha ido la cosa y hablamos del futuro.
(*) Patricia me lo dijo en plan fino refiriéndose a esta semana loca de exámenes: ¡Los profesores nos estáis machacando! ¡No es para tanto, flojos! 😉
La semana que viene vemos cómo ha ido la cosa y hablamos del futuro.
(*) Patricia me lo dijo en plan fino refiriéndose a esta semana loca de exámenes: ¡Los profesores nos estáis machacando! ¡No es para tanto, flojos! 😉
¿Está el Quijote en Pi?
0'12345678910111213...
es el número de Champernowne y tiene una característica muy evocadora: contiene en sus cifras a la Biblia, el Quijote... todo lo escrito por el ser humano, esta entrada, un relato 100% fidedigno de vuestra vida hasta el más mínimo detalle... en fin, ese número lo contiene todo (naturalmente, también contiene mucha morralla con páginas y páginas de letras al azar YBVSDZRVGDXVZ...).
¿Lo estáis entendiendo?
Por ejemplo, si cogemos el Quijote y lo codificamos, asignando a cada letra un número,
Por ejemplo, si cogemos el Quijote y lo codificamos, asignando a cada letra un número,
al final el Quijote "será" un número natural (muy grande claro) que estará contenido en el número de Champernowne porque este número contiene en sus cifras decimales a todos los números naturales.
A los que tienen esta propiedad se les dice números normales (tendría que matizar alguna cosilla pero nos vamos a quedar simplemente con lo que he contado). Claro, la pregunta nos estalla en la cabeza:
A los que tienen esta propiedad se les dice números normales (tendría que matizar alguna cosilla pero nos vamos a quedar simplemente con lo que he contado). Claro, la pregunta nos estalla en la cabeza:
¿Es p un número normal?
No se sabe. Estudiando las cifras que conocemos tiene pinta de que sí pero nadie ha conseguido demostrarlo. Como tiene infinitas cifras y nunca las vamos a conocer todas no sirve de nada razonar sobre lo que pasa con esas que conocemos, hay que hacer algún tipo de razonamiento "indirecto", y la cosa pinta terriblemente difícil.
Vamos con el juego Busca tu nombre en p:
Vamos con el juego Busca tu nombre en p:
1) Codifica numéricamente tu nombre con la tabla anterior. Por ejemplo:
DAVID = 412394
FEDERICO = 6545199316
2) En la siguiente web puedes buscar números incluidos en los primeros dos mil millones de dígitos de p.
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| ¡David sí está! 😃 |
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| ¡Federico no está! 😔 |
En este vídeo Eduardo nos lo cuenta todo con más gracia y rigor:
miércoles, 20 de noviembre de 2019
El triturador de récords
El pasado 14 de marzo (mes 3, día 14, el mismo Día de p), la empleada de Google Emma Haruka Iwao hizo público su logro: utilizando un ordenador virtual de la empresa con 96 procesadores, tras 111'8 días de cálculos, había conseguido más de 31 billones de cifras, concretamente (muy chisposa nuestra Emma):
31.415.926.535.897 cifras
Os cuento nuestros experimentos:
- utilizamos el programa de software libre y-cruncher, el mismo que utilizó Emma (y el que se viene utilizando esta última década para batir el récord):
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| Recordad que el trillion inglés es el billón nuestro. |
- lo probamos en dos ordenadores, el mío (que se llama... ¿de verdad hace falta que lo diga?) y un ordenador virtual, un monstruo con 12 procesadores que nos dejó utilizar un amigo mío. Aquí tenéis las características:
Os reto a que lo intentéis vosotros. Es divertido... y hay 10 euros de premio en juego.
¿Los resultados?
3º de ESO: control de sucesiones
Lo corregiremos en la próxima clase. Intentad darle un vistazo para que me vengáis con dudas concretas:
lunes, 18 de noviembre de 2019
3º de ESO: introducción al álgebra
Os cuelgo las diapositivas que hemos usado en clase:
Nos espera una 2ª evaluación ¡apasionante!
Llegan las series... y los ordenadores
Cuando uno intenta calcular cifras decimales de p lo que quiere es disponer de un procedimiento "rápido", en el sentido de que con cada nuevo cálculo que haga consiga cuantas más nuevas cifras exactas mejor. En ese sentido el método de Arquímedes se vio superado en el s. XVII con la llegada de las series, sumas infinitas de números (a cada sumando se le llama término) cuyo resultado se acerca cada vez más y más a p. Os lo recuerdo:
¿Qué es eso de una suma infinita?
Aquí tenéis tres ejemplos de series que se van acercando a p según vamos sumando más términos:
Al principio los cálculos se hicieron a mano hasta que el s. XX nos trajo los ordenadores. El p-recordman precomputacional fue William Shanks, que creyó llegar hasta 707 cifras exactas en el año 1873 (dedicó gran parte de su vida a este cálculo así como al de otros números famosos; tenía como rutina hacer cuentas toda la mañana y revisar por la tarde). Ya en 1944, con la ayuda de una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas las 527 primeras cifras.
¿Sois lo suficientemente valientes como para atreveros a intentar programar con un ordenador? No es difícil, sólo hay que tener claro que es una máquina muy tonta (no sé cuánto tiempo más vamos a poder seguir diciendo esto) y hay que explicarle pasito a pasito lo que tiene que hacer.
Adrián, Álex y Miguel(*) resolvieron unos cuantos retos como el anterior y crearon programitas con los que estuvieron haciendo "carreras" entre series. Aquí tenéis un resumen de los resultados a los que llegaron con las tres que hemos descrito arriba:
(*) Son inocentes: lo de poner a SuperCoco fue un antojo mío justo antes de imprimir las copias 😂.
Terminamos con un vídeo muy interesante que está relacionado con la suma de Basilea y con la que os he propuesto en el reto.
domingo, 17 de noviembre de 2019
El Teorema de Kelvin
Los primeros experimentos, con objetos inertes, habían seguido fielmente la ley que ligaba número de partículas y cantidad de información. Tipo, momento, ecuación de onda... ceros, unos y superposición. Todo continuó según lo previsto con células, moscas, ratones, chimpancés... ceros, unos y superposición. Lo más grande más información, lo más pequeño menos. Más tras comer, menos tras defecar. Trivial. Chris Kelvin, el físico que había dirigido el proyecto, fue el primer ser humano en ser leído. 31415926535897 cúbits, más de mil veces lo esperado. Pero eso no fue lo más sorprendente. Chris comió, defecó y se cortó el pelo. 31415926535897 cúbits. Leyó a Phoebe, su niña de seis años. 31415926535897 cúbits. El 3 y las trece primeras cifras decimales de p.
Los mismos que habían satanizado las investigaciones, temerosos de su simplificador materialismo -experimentos con primates habían llevado a ecuaciones con una excepcional capacidad descriptiva de la información almacenada en el cerebro previos estímulos emocionales y cognitivos-, estallaron de gozo ante el inexplicable resultado, tras el cual veían la mano de Dios. Para los cristianos, el exceso de información demostraba la existencia del alma, y el 3 inicial, que la Santísima Trinidad era el principio creador; como siempre, los budistas estuvieron más resultones: p, el área del perfecto círculo, sus infinitas cifras, simbolizaban el Nirvana al que el hombre, cargado con el Karma de sus existencias pasadas, eso era el exceso, aspiraba.
Desarrollar una máquina copiadora de materia, esparcidor como se maltradujo al español, fue cuestión de pocos años. Cierto que los informes amasijos de carne, monos, primero muertos, defectuosos después, dieron argumentos a los recién incorporados al entusiasmo científico, que a punto estuvieron de impedir que, por fin, Laykey terminase de pelar el plátano que Laykey pelaba cuando fue leído.
A Phoebe Kelvin le tembló la mano al pulsar el interruptor que crearía una copia de su padre a partir de su última lectura.
Chris escrutó el laboratorio con sus inquisidores ojos, reconoció a Phoebe, e inmediatamente comprendió lo que acababa de suceder:
- ¿Soy el primero?
- Sí.
- ¿Dónde estoy yo?
- Moriste hace años.
Chris bajó la mirada y se tomó unos momentos para ponerse en orden. Con voz y expresión desasosegada dijo:
- Phoebe, yo no soy tu padre.
(P.D.) Naturalmente el final, aparte de su ·significado", es un homenaje a esto:
sábado, 16 de noviembre de 2019
Arquímedes
Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, con no muchos más, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda:
Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.
A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).
Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden 1).
Reto 3 para los de 2º de ESO. Calcula el área los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1. Os doy una pista con el siguiente dibujo:
Y luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil, una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados (Aviso: ¡pienso poner este ejercicio en el correspondiente examen de 2º de ESO de este año!).
Reto 3 para los de cursos superiores a 2º de ESO. Calcula el lado, radio y apotema de los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (vamos, que hagáis el reto anterior) y, con ellos, calcula el lado, radio y apotema de los dodecágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (no os quejéis que a Álex le mandé hacerlo hasta el de 48 lados -es repetir la misma idea un par de veces más-). Van unas pistas en forma de imágenes (las minúsculas se refieren a datos del hexágono y las mayúsculas al dodecágono).
En el inscrito el problema sale fácil aplicando Pitágoras; en el circunscrito sale "fácil" con Pitágoras (para sacar x) y luego semejanza. A continuación os justifico por qué los dos triángulos del circunscrito son semejantes (aunque está hecho pasando del cuadrado al octógono la idea es la misma):
Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 262 lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!
Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:
A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).
Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden 1).
Reto 3 para los de 2º de ESO. Calcula el área los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1. Os doy una pista con el siguiente dibujo:
Y luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil, una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados (Aviso: ¡pienso poner este ejercicio en el correspondiente examen de 2º de ESO de este año!).
Reto 3 para los de cursos superiores a 2º de ESO. Calcula el lado, radio y apotema de los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (vamos, que hagáis el reto anterior) y, con ellos, calcula el lado, radio y apotema de los dodecágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (no os quejéis que a Álex le mandé hacerlo hasta el de 48 lados -es repetir la misma idea un par de veces más-). Van unas pistas en forma de imágenes (las minúsculas se refieren a datos del hexágono y las mayúsculas al dodecágono).
En el inscrito el problema sale fácil aplicando Pitágoras; en el circunscrito sale "fácil" con Pitágoras (para sacar x) y luego semejanza. A continuación os justifico por qué los dos triángulos del circunscrito son semejantes (aunque está hecho pasando del cuadrado al octógono la idea es la misma):
Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 262 lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!
Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:
El conjunto de Mandelbrot
En nuestro panel de Divulgaciencia aparece esta imagen:
¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?
Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.
Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.
Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.
Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).
¿Y dónde demonios aparece p por ahí? En el culo y en el cuello:
Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):
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| Conjunto de Mandelbrot |
¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?
Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.
Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.
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| Y esto seguiría hasta el infinito... ¡y más allá! |
Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.
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| ¡Qué bonitas son las Julias! 😍😍 |
Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).
Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):
Reto 2. (No me podéis decir que están siendo difíciles). ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 3ª iteración? Se supone que el primer segmento mide 1.
Extra. ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 4ª iteración? ¿Y en la 5ª? ¿Os atrevéis con la n-ésima iteración?
jueves, 14 de noviembre de 2019
¿"Quién" es Pi?
Estos días os voy a explicar de qué va el Proyecto de Divulgaciencia en el que han trabajado Adrián, Álex y Miguel. De paso os propondré algunos retos que os ayuden a entender mejor el tema. Me gustaría apelar a vuestra vocación matemática y las ansias de saber para fomentar la participación, pero como hoy me habéis demostrado los de 2º en la clase de matemática financiera, lo que de verdad os gusta es la pela, así que en cada uno de los retos sortearemos 10 euros entre los que lo contestéis correctamente. Dos cosas:
- cualquier alumno mío del Valle del Oja que quiera aspirar a final de curso a 10 o matrícula de honor debe resolver todos los retos,
- el plazo para cualquiera de ellos termina el próximo 13 de enero a las 23:59.
Vamos al lío:
Si giramos una rueda una vuelta completa, la longitud recorrida es tres veces y pico la longitud de su diámetro: ese tres y pico es p.
A lo largo de la historia p ha seguido apareciendo continuamente, por sorpresa muchas veces, en multitud de sitios. Hablaremos pronto de algunos de esos lugares, pero por ahora vamos a quedarnos con dos ejemplos curiosos:
- ¡en los ríos!
- y en la aguja de Buffon:
Naturalmente, la aproximación será mejor cuantos más lanzamientos hagamos. Aquí os enlazo una web en la que podéis hacer simulaciones:
Reto I. Vamos a empezar con algo facilito (es una especie de "p-trabalenguas").
Cuánto vale el área de la circunferencia grande si sabemos que:
- el radio de la pequeña es p,
- la circunferencia grande está fija,
- la circunferencia pequeña rueda sobre el interior de la grande (pegada a ella),
- cuando la pequeña da una vuelta completa a la grande y vuelve al sitio de partida, ha girado exactamente p vueltas sobre sí misma.
La verdad es que, más que un profesor, ¡me siento entrenador de chuchos! Ahí va la galletita:
Os recuerdo:
miércoles, 13 de noviembre de 2019
¡Ya está el panel!
¡El escenario ya está listo para la actuación de las estrellas!
Estáis todos invitados a la exposición el próximo sábado 23 de noviembre en la Fundación Caja Rioja-Bankia (Calle de la Merced 6), enfrente de la Biblioteca de La Rioja, a partir de las 17:00 (por el lugar en el que estamos colocados yo creo que iremos de los últimos, lo que nos lleva a más allá de las 7 de la tarde).
Próximamente, aquí en el blog, iré escribiendo entradas en las que os contaré el trabajo que han hecho Adrián, Álex y Miguel: habrá retos y premios.
En la Jornada Cultural del instituto prepararemos una actividad para que ellos mismos os lo expliquen todo con detalle.
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| Ahí están Federico y su tatarabuelo. |
lunes, 11 de noviembre de 2019
Infinitos (III parte): la diagonal de Cantor
Esto es una pildorita de matemáticas high level. ¡Concentración!
Recordamos lo que ya hemos visto: los números naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. ¿Por qué? Porque si pensamos que los números naturales son las habitaciones de un hotel, podemos alojar en él a todos los elementos de los otros dos conjuntos. Dicho de otra forma:
"Un conjunto infinito tiene los mismos elementos que el conjunto de los números naturales cuando puedo hacer una lista con sus elementos" (que sería la lista de la asignación de las habitaciones del hotel).
La pregunta surge sola en una mente curiosa: ¿hay conjuntos infinitos más grandes que el de los números naturales?
Respuesta: sí.
¿Un ejemplo? El conjunto de los números reales entre 0 y 1.
¿Alguna demostración que podamos entender? Yo creo que el razonamiento de la diagonal de Cantor podéis pillarlo:
1) Vamos a suponer que existe una lista con todos los números reales entre 0 y 1. La empiezo yo:
Recordamos lo que ya hemos visto: los números naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. ¿Por qué? Porque si pensamos que los números naturales son las habitaciones de un hotel, podemos alojar en él a todos los elementos de los otros dos conjuntos. Dicho de otra forma:
"Un conjunto infinito tiene los mismos elementos que el conjunto de los números naturales cuando puedo hacer una lista con sus elementos" (que sería la lista de la asignación de las habitaciones del hotel).
La pregunta surge sola en una mente curiosa: ¿hay conjuntos infinitos más grandes que el de los números naturales?
Respuesta: sí.
¿Un ejemplo? El conjunto de los números reales entre 0 y 1.
¿Alguna demostración que podamos entender? Yo creo que el razonamiento de la diagonal de Cantor podéis pillarlo:
1) Vamos a suponer que existe una lista con todos los números reales entre 0 y 1. La empiezo yo:
1) 0'14159534...
2) 0'33333333...
3) 0'71717171...
4) 0'21221222...
5) 0'30000000...
6) 0'00346447...
7) 0'79756474...
8) 0'43434356...
...
2) ¿Me sabéis construir un número (hay infinitos) que sepamos seguro que NO está en la lista?
Efectivamente, iríamos formando un número 0'... con:
- su primera cifra decimal distinta de 1, por ejemplo 2,
- su segunda cifra decimal distinta de 3, por ejemplo 4,
- su tercera cifra decimal distinta de 7, por ejemplo 8,
- ...
- y así hasta el infinito,
y es seguro que el número que vamos formando 0'248... NO está en la lista (porque tiene al menos una cifra distinta a la de cualquiera que sí lo esté).
y es seguro que el número que vamos formando 0'248... NO está en la lista (porque tiene al menos una cifra distinta a la de cualquiera que sí lo esté).
3) Recapitulamos: hemos intentado construir una lista de todos los números reales entre 0 y 1 y resulta que siempre vamos a poder encontrar al menos uno que no está en esa lista. Yendo a nuestro hotel: ¡no hay suficientes habitaciones para tantos huéspedes!
4) Conclusión: acabamos de probar que los números reales entre 0 y 1 son más que los números naturales (y enteros y racionales).
4) Conclusión: acabamos de probar que los números reales entre 0 y 1 son más que los números naturales (y enteros y racionales).
Continuará...
viernes, 8 de noviembre de 2019
2º de ESO: sprint final de la 1ª evaluación
Os cuelgo las soluciones de la hoja de ejercicios con la que estamos trabajando en clase (faltan las de los dos últimos apartados: Matemática financiera y Repartos).
Como os comento en el título ya estamos casi en la meta. Si queréis llegar tan sobrados como Bolt, tenéis que entrenar duro desde ya,
porque si no lo hacéis llegaréis como el de la foto:
Como os comento en el título ya estamos casi en la meta. Si queréis llegar tan sobrados como Bolt, tenéis que entrenar duro desde ya,
porque si no lo hacéis llegaréis como el de la foto:
miércoles, 6 de noviembre de 2019
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