Infinitos (III parte): la diagonal de Cantor

Esto es una pildorita de matemáticas high level. ¡Concentración!

Recordamos lo que ya hemos visto: los números naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. ¿Por qué? Porque si pensamos que los números naturales son las habitaciones de un hotel, podemos alojar en él a todos los elementos de los otros dos conjuntos. Dicho de otra forma:

"Un conjunto infinito tiene los mismos elementos que el conjunto de los números naturales cuando puedo hacer una lista con sus elementos" (que sería la lista de la asignación de las habitaciones del hotel).

La pregunta surge sola en una mente curiosa: ¿hay conjuntos infinitos más grandes que el de los números naturales?

Respuesta: sí.

¿Un ejemplo? El conjunto de los números reales entre 0 y 1.

¿Alguna demostración que podamos entender? Yo creo que el razonamiento de la diagonal de Cantor podéis pillarlo:

1) Vamos a suponer que existe una lista con todos los números reales entre 0 y 1. La empiezo yo:

1) 0'14159534...

2) 0'33333333...

3) 0'71717171...

4) 0'21221222...

5) 0'30000000...

6) 0'00346447...

7) 0'79756474...

8) 0'43434356...

...                       

2) ¿Me sabéis construir un número (hay infinitos) que sepamos seguro que NO está en la lista?

Efectivamente, iríamos formando un número 0'... con:

- su primera cifra decimal distinta de 1, por ejemplo 2,

- su segunda cifra decimal distinta de 3, por ejemplo 4,

- su tercera cifra decimal distinta de 7, por ejemplo 8,

- ...

- y así hasta el infinito,

y es seguro que el número que vamos formando 0'248... NO está en la lista (porque tiene al menos una cifra distinta a la de cualquiera que sí lo esté).

3) Recapitulamos: hemos intentado construir una lista de todos los números reales entre 0 y 1 y resulta que siempre vamos a poder encontrar al menos uno que no está en esa lista. Yendo a nuestro hotel: ¡no hay suficientes habitaciones para tantos huéspedes!

4) Conclusión: acabamos de probar que los números reales entre 0 y 1 son más que los números naturales (y enteros y racionales).

Continuará...