Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, con no muchos más, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden 1).

Reto 3 para los de 2º de ESO. Calcula el área los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1. Os doy una pista con el siguiente dibujo:

Y luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil, una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados (Aviso: ¡pienso poner este ejercicio en el correspondiente examen de 2º de ESO de este año!).

Reto 3 para los de cursos superiores a 2º de ESO. Calcula el lado, radio y apotema de los hexágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (vamos, que hagáis el reto anterior) y, con ellos, calcula el lado, radio y apotema de los dodecágonos inscrito y circunscrito en una circunferencia de radio 1 (no os quejéis que a Álex le mandé hacerlo hasta el de 48 lados -es repetir la misma idea un par de veces más-). Van unas pistas en forma de imágenes (las minúsculas se refieren a datos del hexágono y las mayúsculas al dodecágono).

En el inscrito el problema sale fácil aplicando Pitágoras; en el circunscrito sale "fácil" con Pitágoras (para sacar x) y luego semejanza. A continuación os justifico por qué los dos triángulos del circunscrito son semejantes (aunque está hecho pasando del cuadrado al octógono la idea es la misma):

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo: